李文林——著名数学史专家

媒体报道（一）：

中国科学院数学与系统科学研究院的研究员：李文林

主持人：今天我们请来了数学专家介绍数学专业的专业背景和就业前景。现在要给各位做一个介绍，此刻坐在我身边的就是中国科学院数学与系统科学研究院的研究员李文林先生，欢迎您。

李文林：观众朋友大家好。

主持人：欢迎您来到我们节目当中，我们要和李文林先生聊一聊和数学有关的话题，今天我们谈的都是数学专业的情况，我想请教您，您在当时考大学的时候是不是真的就一门心思就想学数学。

李文林：我这个情况有点波折，我第一志愿填报的是中国科技大学的近代物理系，当年可能是因为考这个学校这个系的人数比较多，也可能因为我的高考成绩数学比较突出，我最终被录取在中国科大的数学系。因为我本来对数学就很感兴趣，所以在科技大学数学系这样一个良好的数学环境下面，我很快就进一步了解、提高了对数学价值的认识。

主持人：当时华罗庚是不是你们的系主任？

李文林：我们的系主任。

主持人：那个时候你心里面崇拜他吗？

李文林：那当然，因为华罗庚是全世界著名的数学家，而且华罗庚是江苏金坛人，是老乡，当然是比较崇拜的。

主持人：后来一生都和数学研究结缘在一起，会不会跟当时学校的整个氛围，包括和很多知名的数学家当导师息息相关。

李文林：当时有一个很好的条件就是中科院有很多数学家亲自到科大去授课，比如说华罗庚教授等等都是亲自到数学系给我们上课。

主持人：我想很多电视机前的观众朋友和我一样好奇，我们数学系都学些什么，我们在中学接触过几何、代数，大学里可能有微积分、概率等等，如果继续学的话究竟还可以去学什么样的内容。

李文林：数学经过两千多年的发展已经是一棵根深叶茂的大树，在高层学校里还是学习基础，打基础。在我们那时候我们要学微积分，要进一步的系统的深入学习微积分，还有线性代数，还有概论，拓扑、函数、方程、数理统计、计算方法等等。有的学校可能还要开一些抽象代数等等。

主持人：对于我们这些非数学专业的人来说，听着您刚才介绍的学科门类都觉得非常的新鲜，那学了那么多门课现在回过头来看您觉得在大学期间的哪一门课会让您终身受益无穷，对未来的研究工作十分有帮助。

李文林：当时在科大吴院士给我们这个班亲自讲授微积分，也叫数学分析，这个课讲了三年，我想这个课程对于奠定坚实的数学基础以及培养数学思维对我们来讲都是有决定性意义。当然还有一些其他的课程也是终身受益的，比如说华罗庚教授还给我们开了一个函数论，像应老师给我们讲的函数论，诚院士给我们讲的概论这些课程对我们来讲都是终身受益。

主持人：学完了大学本科四年有没有考虑过自己未来向什么方向去发展？

李文林：当时我想我个人希望有机会从事数学研究。

主持人：那个时候已经是很坚定的信念。

李文林：谈不上很坚定，但是也是比较坚定的意向。

主持人：后来有没有如愿以偿。

李文林：后来我大学毕业直接分配到中国科学院数学研究所，应该说在这个道路上在毕业以后就能够如愿以偿。

主持人：在前面短片当中我们看到其实学数学的人在未来改行的人还不在少数，当时您有没有想过改行干别的。

李文林：我想数学既是一个基础学科又是一个工具，我觉得学好数学也可以到别的行业施展伸手，不过当时我大学毕业科大数学系对基础培养这方面的考虑还是比较强烈，我们这些学生当时都希望能够直接从事数学研究，当然这些也包括应用数学的研究。

主持人：很多人都说数学是基础学科，学完了以后可能会影响未来职业的选择，你认同他们的这种说法吗？

李文林：我认为这个看法是对的，因为数学作为一门基础科学不仅仅是自然科学跟技术科学的基础，而且在人文科学跟社会科学上现在也越来越广泛的应用数学。在大学里学了数学毕业以后可以选择的空间比较大，而且就业面也是比较宽的。

主持人：一般会有什么样的选择？

李文林：首先当然是到不同科研机构里从事数学跟数学应用的研究，另外像信息技术、经济、金融、管理，甚至包括气象这样的一些部门，据我了解还有国防的高新技术部门，数学的专业人才都是大有可为，很有用武之地的。我可以举些例子，我们刚才讲到的经济、金融，我们研究院王院士是搞数论的，他有一个学生到的美国，后来给他写信说在美国是搞金融，在华尔街搞得非常成功，我想他原来是学数学的，我们的王选院士是信息技术方面，但是他是北大数学系出身的。我是六十年代到数学所，在五十年代曾经有很多学数学的人转行到国防部门，像导弹、卫星、核武器这些研究，我们数学输出过很多数学家到他们那去从事开发，技术的研究，而且做出了成就。

主持人：还是应验了原来那句老话学好数理化走遍天下都不怕，我们看到您一生都和数学打交道，肯定发现了别人感受不到的魅力，您觉得研究数学最大的乐趣是什么？

李文林：我想从数学是什么说起，数学的研究对象是数量关系和空间形式，简而言之就是数和形，可谓说是无处不在，数学跟我们的整个科学技术发展息息相关，而且数学跟我们的生活也息息相关。比方说我们要看病，给我们做医疗诊断的仪器，可以说没有数学就没有CT仪。我们每天关注天气预报，现在很大程度上依靠数学的计算，我想数学的用处是非常广泛。正因为数学研究数理形，千变万化的数理形使得数学研究本身变得魅力无穷。我可以这么比方，数学就像是有一个抽象的围墙的花园，如果你站到外面看有的时候你会觉得它有一点抽象，有一点深奥，甚至有时候觉得有点枯燥，但是只要你走进这个门，你就会发现数学的花园是百花齐放，百花争艳，而且是气象万千。我们听到的很多问题像什么疑难猜想都是数学花园里的奇葩。另外，我想数学不仅是大有用处，而且数学研究本身我想就是一种艺术，这个艺术就是数跟形的艺术，画家是画画，音乐家是作曲，但是数学家是研究数跟形的艺术，我想这个是其乐无穷。

主持人：看了您的笑容就知道真的是其乐无穷，刚才您提到了庞加莱猜想，我想在刚刚过去的六月份应该是让我们对数学界印象非常深的申请，那就是曹怀东教授和中山大学的朱熹平教授告诉世人，说我们已经破解了百年数学难题庞加莱猜想，我记得在我很小的时候读过徐驰的报告文学，哥德巴赫猜想，当时把它说成是数学王冠上的一颗明珠，那么庞加莱猜想是不是同样也是一颗闪闪发光的明珠。

李文林：庞加莱猜想是在二十一世纪初的时候被美国的克莱研究所确定为七大数学问题，对全世界数学家来悬奖的，庞加莱猜想是其中一个，就说明这个猜想的意义和重要性。

主持人：在六月份其实还有一件和数学有关的事情，就是吴文俊院士获得了邵逸夫奖的数学科学奖，当越来越多的中国人身影出现在解决数学皇冠上明珠难题的过程当中，您对这些希望报考数学专业的考生有没有什么特别深切的期望和期待。

李文林：我想中国人民是擅长数学的一个民族，中国古代有很优秀的悠久的数学传统，到了名朝以后我们的数学落后了，但是在上一个世纪初开始我们中国的几代数学家都在努力的拼搏奋斗，希望赶超世界先进水平，那么特别是到了上个世纪九十年代以后，由于中国的改革开放，中国数学家通过走出去请进来，在赶超世界数学先进水平的道路上取得了相当大的进步，比方你刚才说到的陈景润在哥德巴赫猜想上的贡献四十年到现在还没有人能够超越，我想中国的数学基础学科很难去精确的预测具体成果，但是有一点可以乐观的估计到就是中国数学家在不愿的将来实现把我们中国建成数学强国这样一个宏伟目标。我觉得我们年轻的学生如果能够有幸成为这个光荣科学队伍里的一员，我觉得这是骄傲的。

主持人：我想这是大家共同的期待，也让我们大家为这个目标共同努力，特别感谢李先生来到我们直播现场。

文章来源：《央视国际 www.cctv.com》2006年07月05日

媒体报道（二）：

追寻数学大国的历史脉络——数学史专家李文林谈中国数学发展

有位著名的数学家说过，“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家都有着深远的影响”。

对于数学史有着深厚研究的中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林认为，数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而，数学史是人类文明史最重要的组成部分。

近年来，李文林研究员执著地在中国数学史领域求索，曾发表过大量关于数学史的研究论文。他专门为大学学生撰写的《数学史教程》，被广泛地应用于大学数学史学科的教学。他是上一届中国数学会数学史分会的秘书长。

不久前，李文林研究员还参与了一项重要的研究工作。中国首届国家最高科学技术奖获得者、著名数学家吴文俊先生设立了“数学与天文丝路基金”，用于资助年轻学者研究古代中国与世界进行数学交流的历史，揭示部分东方数学成果如何从中国经“丝绸之路”传往欧洲之谜。该研究旨在纠正世界科技界对中国数学认识上存在的偏颇，通过对中国古代数学遗产的进一步发掘，探明近代科学的源流，鼓舞中国人在数学研究上的自信心和发愤图强的勇气。李文林作为该学术委员会组长参与了很多工作。

日前，本报记者采访了李文林研究员。李文林把中国数学史称为波澜壮阔的中华文明史中最亮丽的篇章。在李文林的娓娓叙述中，中国数学对于世界的卓越贡献，如盛开着的中国文明之花，一朵朵展现开来。

古代数学领跑世界

中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。

中国数学的起源与早期发展，在古代著作《世本》中就已提到黄帝使“隶首作算数”，但这只是传说。在殷商甲骨文记录中，中国已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数。筹算作为中国古代的计算工具，是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。

关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。

战国(公元前475年～前221年)诸子百家与希腊雅典学派时代相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。如《墨经》(约公元前4世纪著作)中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义。

在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。《周髀算经》成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周(公元前11世纪～前8世纪)。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”中有一门是“九数”。刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍、耿寿昌等人删补。

《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。算术方面，“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则，“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。代数方面，《九章算术》的成就是具有世界意义的，“方程术”即线性联立方程组的解法；“正负术”是《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献，即负数的引进；“开方术”即“少广”章的“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法；在几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题，其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。

《九章算术》的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，却出现了证明《九章算术》中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。

从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。

《隋书》“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰《九章算术注》。《九章算术注》包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，使刘徽成为中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。在体积理论方面，像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的成果。

刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之和他的儿子推进和发展了。

祖冲之(公元429年—500年)活跃于南朝宋、齐两代，曾做过南徐州(今镇江)从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。《南齐史》“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”。

球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之引以为荣的两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中。祖冲之算出了圆周率数值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖冲之和他儿子关于球体积的推导被称之为“祖氏原理”。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。

之后的大唐盛世是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。

中国古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。

到了宋代，雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(公元960年—1368年)，重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。

贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)摘录，因能传世。贾宪的增乘开方法，是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。

秦九韶(约公元1202年—1261年)在他的代表著作《数书九章》中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。秦九韶还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

秦九韶的大衍总数术，是《孙子算经》中“物不知数”题算法的推广。从“孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究，形成了中国古典数学中饶有特色的部分。这方面的研究，可能是受到了天文历法问题的推动。中国古典数学的发展与天文历法有特殊的联系，另一个突出的例子是内插法的发展。

古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数。公元600年刘焊在《皇极历》中使用了二次内插公式来推算日月五星的经行度数。公元727年，僧一行又在他的《大衍历》中将刘焊的公式推广到自变量不等间距的情形。但由于天体运动的加速度也不均匀，二次内插仍不够精密。随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要求。到了宋元时代，便出现了高次内插法。

最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等。

宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。

中国古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。

现代数学迎头赶上

自鸦片战争以后，西方列强的军舰与大炮使中国朝野看到了科学与教育的重要，部分有识之士还逐步认识到数学对于富国强兵的意义，从而竭力主张改革国内数学教育，同时派遣留学生出国学习西方数学。辛亥革命以后，这两条途径得到了较好的结合，有力地推动了中国现代高等数学教育的建制。

20世纪初，在科学与民主的高涨声中，中国数学家们踏上了学习并赶超西方先进数学的光荣而艰难的历程。1912年，中国第一个大学数学系——北京大学数学系成立(当时叫“数学门”，1918年改“门”称“系”)，这是中国现代高等数学教育的开端。

20世纪20年代，是中国现代数学发展道路上的关键时期。在这一时期，全国各地大学纷纷创办数学系，数学人才培养开始着眼于国内。除了北京大学、清华大学、南开大学、浙江大学，在这一时期成立数学系的还有东南大学(1921年)、北京师范大学(1922年)、武汉大学(1922年)、厦门大学(1923年)、四川大学(1924年)等等。

伴随着中国现代数学教育的形成，现代数学研究也在中国悄然兴起。中国现代数学的开拓者们，在发展现代数学教育的同时，努力拼搏，追赶世界数学前沿，至1920年末和1930年，已开始出现一批符合国际水平的研究工作。

1928年，陈建功在日本《帝国科学院院报》上发表论文《关于具有绝对收敛Fourier级数的函数类》，中心结果是证明了一条关于三角级数在区间上绝对收敛的充要条件。几乎同时，G.哈代和J.李特尔伍德在德文杂志《数学时报》上也发表了同样的结果，因而西方文献中常称此结果为“陈-哈代-李特尔伍德定理”。这标志中国数学家已能生产国际一流水平的研究成果。

差不多同时，苏步青、江泽涵、熊庆来、曾炯之等也在各自领域里作出令国际同行瞩目的成果。1928—1930年间，苏步青在当时处于国际热门的仿射微分几何方面引进并决定了仿射铸曲面和旋转曲面。他在这个领域的另一个美妙发现后被命名为“苏锥面”。江泽涵是将拓扑学引进中国的第一人，他本人在拓扑学领域中最有影响的工作是关于不动点理论的研究，这在他1930年的研究中已有端倪。江泽涵从1934年起出任北京大学数学系主任。熊庆来“大器晚成”，1931年，已经身居清华大学算学系主任的熊庆来，再度赴法国庞加莱研究所，两年后取得法国国家博士学位。其博士论文《关于无穷级整函数与亚纯函数》、引进后以他的名字命名的“熊氏无穷级”等，将博雷尔有穷级整函数论推广为无穷级情形。

从20世纪初第一批学习现代数学的中国留学生跨出国门，到1930年中国数学家的名字在现代数学热门领域的前沿屡屡出现，前后不过30余年，这反映了中国现代数学的先驱者们高度的民族自强精神和卓越的科学创造能力。

这一点，在1930年至1940年中的时期里有更强烈的体现。这一时期的大部分时间，中国是处在抗日战争的烽火之中，时局动荡，生活艰苦。当时一些主要的大学都迁移到了敌后内地。在极端动荡、艰苦的战时环境下，师生们却表现出抵御外侮、发展民族科学的高昂热情。他们在空袭炸弹的威胁下，照常上课，并举行各种讨论班，同时坚持深入的科学研究。这一时期产生了一系列先进的数学成果，其中最有代表性的是华罗庚、陈省身、许宝的工作。

到40年代后期，又有一批优秀的青年数学家成长起来，走向国际数学的前沿并作出先进的成果，其中最有代表性的是吴文俊的工作。吴文俊1940年毕业于上海交通大学，1947年赴法国留学。吴文俊在留学期间就提出了后来以他的名字命名的“吴示性类”和“吴公式”，有力地推动了示性类理论与代数拓扑学的发展。

经过老一辈数学家们披荆斩棘的努力，中国现代数学从无到有地发展起来，从1930年开始，不仅有了达到一定水平的队伍，而且有了全国性的学术性组织和发表成果的杂志，现代数学研究初具规模，并呈现上升之势。

1949年中华人民共和国成立之后，中国现代数学的发展进入了一个新的阶段。新中国的数学事业经历了曲折的道路而获得了巨大的进步。这种进步主要表现在：建立并完善了独立自主的现代数学科研与教育体制；形成了一支研究门类齐全、并拥有一批学术带头人的实力雄厚的数学研究队伍；取得了丰富的和先进的学术成果，其中达到国际先进水平的成果比例不断提高。改革开放以来，中国数学更是进入了前所未有的良好的发展时期，特别是涌现了一批优秀的、活跃于国际数学前沿的青年数学家。

改革开放以来的20多年是我国数学事业空前发展的繁荣时期。中国数学的研究队伍迅速扩大，研究论文和专著成十倍地增长，研究领域和方向发生了深刻的变化。我国数学家不仅在传统的领域内继续作出了成绩，而且在许多重要的过去空缺的方向以及当今世界研究前沿都有重要的贡献。在世界各地许多大学的数学系里都有中国人任教，特别是在美国，中国数学家还在大多数名校占有重要教职。在许多高水平的国际学术会议上都能见到作特邀报告的中国学者。在重要的数学期刊上，不仅中国人的论著屡见不鲜，而且在引文中，中国人的名字亦频频出现。在一些有影响的国际奖项中，中国人也开始崭露头角。

这一切表明，我国的数学研究水平比过去有了很大提高，与世界先进水平的差距明显地缩小了，在许多重要分支上都涌现出了一批优秀的成果和学术带头人。中国人在国际数学界的地位空前提高了。

李文林研究员表示，中国数学的今天，是几代数学家共同拼搏奋斗的结果。2002年国际数学家大会在北京召开，标志着中国国际地位的提高与数学水平的发展。他表示相信，在众多中国科学家的共同努力下，中国数学赶超世界先进水平，并在21世纪成为世界数学大国的梦想一定能够实现。

近代数学日渐势微

《四元玉鉴》可以说是宋元数学的绝唱。元末以后，中国传统数学骤转衰落。整个明清两代(1368年—1911年)，不仅未再产生出能与《数书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前，“天元术”、“四元术”这样一些宋元数学的精粹，竟长期失传，无人通晓。明初开始长达三百余年的时期内，除了珠算的发展及与之相关的著作(如程大位《算法统宗》，1592年)的出现，中国传统数学研究不仅没有新的创造，反而倒退了。

中国传统数学自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫长的封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。

同时，中国传统数学本身也存在着弱点。筹算系统使用的十进位值记数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数“天元术”与“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是筹算数学还是演绎几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。16、17世纪，当近代数学在欧洲蓬勃兴起以后，中国数学就更明显地落后了。

从17世纪初到19世纪末大约三百年时间，是中国传统数学滞缓发展和西方数学逐渐传入的过渡时期，这期间出现了两次西方数学传播的高潮。

第一次是从17世纪初到18世纪初，标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。1606年，中国学者徐光启(1562年—1633年)与意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci)合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。

西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。除了初等数学，这一时期还传入了包括解析几何、微积分、无穷级数论、概率论等近代数学知识。

西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成起了一定的作用，但由于当时整个社会环境与科学基础的限制，总的来说其功效并不显著。清末数学教育的改革仍以初等数学为主，即使在所谓“大学堂”中，数学教学的内容也没有超出初等微积分的范围，并且多半被转化为传统的语言来讲授。中国现代数学的真正开拓，是在辛亥革命以后，兴办高等数学教育是重要标志。

文章来源：《科学时报》记者：王学健 2002-08-20

媒体报道（三）：

CCTV百家讲坛：相识数学4 ——二十世纪数学的发展趋势

演讲人：李文林

讲师简介：中国科学院数学与系统科学研究院研究员，在中国算法、微积分与解析几何史、希尔伯特问题等方面有深入研究，1992年当选国际数学史委员会委员，1995年4月起任《数学学报》常务副主编。

内容简介：20世纪的数学，主要的是三块，三大活动，一块就是纯粹数学的扩展，纯粹数学也是叫做核心数学，上级也就是抽象数学；第二块活动就是数学的空间的应用、应用数学的空前蓬勃发展；第三块活动就是计算机跟数学的相互影响，这个三大活动构成了20世纪数学的主要线索，概括了20世纪数学的发展。

全文：

我想20世纪的数学，主要的是三块，三大活动，一块就是纯粹数学的扩展，纯粹数学也是叫做核心数学，上级也就是抽象数学，第二块活动就是数学的空间的应用应用数学的空前蓬勃发展。第三块活动就是计算机跟数学的相互影响,这个三大活动构成了20世纪数学的主要线索，我今天主要也就是按照这三大活动，来概括20世纪数学的发展，其中，我先讲纯粹数学。　

纯粹数学是19世纪的遗产，按照罗素，英国大数学家哲学家罗素的说法，就是说，19世纪，有一个可以跟蒸汽机的使用等等电气的使用可以相提并论的一顶桂冠，就是说，纯粹数学的发现，他认为，纯粹数学主要是19世纪的产物20世纪，纯粹数学得到了巨大的发展，纯粹数学这个前沿在20世纪不断的挺进而且，产生出很多令人惊异的成就。　

比方说，我们大家都知道的哄动一时费马大定理的证明，这是300多年了，一直在前几个世纪都没有解决，但是，20世纪解决了，还有四色定理也是有100多年的历史都没有解决，但是在20世纪被解决了。那么，其他大家可能有的听得比较少的向连续统假设在某种意义上，在一定程度上，也在20世纪被解决了,还有很复杂的节是有限单群的分类定理，也是20世纪很大的成果等等，所以，20世纪引出来一系列很惊人的成果。　

跟19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展，表现下面这样一个特征跟趋势。

也就是首先，就是说，更高的抽象化，第二个特征或者叫趋势，更强的统一性，第三个趋势是更深入地对基础的探讨。我后面两个特征，实际上，本质上也是属于抽象化，所以我今天重点还是谈谈20世纪纯粹数学里面更高的抽象化这样一个趋势，那么，抽象化本来是数学的固定的特征，那么，20世纪的抽象化它跟以前的数学发展有什么不同呢？我想20世纪数学的抽象化主要是受了两大因素的推动，一个就是集合论的观点，还有一个是公理化的方法，这个是跟过去的时代是不一样的。那么，集合论的观点，我们知道，集合论本来是德国数学家康托，为了使得分析微积分严格化，而产生的这样一个分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的数的集合，或者点的集合，那么，后来呢，经过其他数学家，比如说，法国的弗莱歇，他们把集合论加以发展，发展成推广成为任意元素，这个集合的元素可以是任意的对象这样一个抽象的对象，就产生了一般的集合论，抽象的集合论，这个抽象的集合论，后来被发现，是数学各个领域的一个很有用的语言。它可以在数学各个领域里边作为一种通用的语言来描述数学的一些定理，来建立一些概念。　

另外一个是公理化方法，我刚才说，20世纪纯粹数学抽象化趋势受第二个推动的大的因素，公理化方法，德国数学家，20世纪也应该算是可以数在前头的一位，赫尔曼外伊他说过这样一句话，他在总结20世纪上半世纪数学发展的时候，他说过这样一句话，他说，20世纪数学的一个十分突出的方面，是公理化方法所起的作用的极度增长，以前他说，公理化仅仅是用来阐明我们所建立的理论的基础。但是，现在，他却成为具体数学研究的工具。这是赫尔曼外伊的一个看法。　

那么，20世纪的公理化方法的奠基人是德国数学家希尔伯特，希尔伯特大家都可能知道他在1900年国际数学家巴黎大会上，提出23个数学问题，因为这

个很有名，但是，希尔伯特有很大的重大的贡献，其中有一个就是他提出来，新的公理化方法，那么，公理化方法在欧几里得几何里面已经有了，在公元前三世纪就已经有了，整个系统是从公理定理开始，然后在这个基础上，建立证明推导很多定理，这就是所谓欧几里得的一个公理化系统，欧几里得的公理系统里面有一条公设叫做第五公设就是平行公设，过直线外一点，能够，而且只能作一条直线，跟已经知道的直线平行。这个公设在这个公理系统里面就显得很特殊，几千年，数学家们一直在问，这条公理，好像他们从直觉上感到跟其他的公理不一样，他们就希望，就问能不能从其他的公理或者定理来证明这条公理，一两千年这个问题没有解决，可以说两千年吧，一直到19世纪才有人发现这条公理是独立的。也就是说你换成另外一个公理，把它欧几里得公理全部保存，欧几里得公理都保存，就把这一条平行公设改成过直线之外可以作不只一条直线，跟原来的直线相平行的话，你同样可以推出一套数学几何来。这套几何本身，也是可以有它的定理，而且，看其他好像也没有什么矛盾。那么这样一来的话就使得欧几里得几何公理的体系就引起了人们的研究，就觉得欧几里得几何公理系统的逻辑结构，还不是很清楚。　

那么，希尔伯特他经过了大量的研究以后，提出来一套公理化方法，他这个公理化方法，区别于欧几里得的主要是两点，第一点就是他提出来，对公理系统比较要提出逻辑要求，他提出来三条第一条这个公理系统，必须要符合一种叫相融性，或者叫无矛盾性。这什么意思呢？就是你这个公理系统里面的公理，不能够相互矛盾。你从有些公理推出来一些相互矛盾的公理，当然从逻辑上，你这个公理系统就是不好的。就不行的。这是叫做相融性，或者叫做无矛盾性这是很自然的一个要求。　

另外一个要求，他提出来这个公理系统，必须要符合一种叫做独立性，也就是说这个公理系统里面不应该有多余的公理，什么叫多余的公理就是说像他们怀疑的说欧几里得第五公设可以从别的公理推出来作为公理立在那儿就是多余的。所以，要把它去掉。但是后来他们发现证明了欧几里得第五公里是独立的它不能从其他公理推出来，因此它就可以作为一条公理，独立地放在这个公理系统里面，所以这个公理系统的独立性是他提出来的第二个要求。第三个要求就是公理系统不能缺少公理，少了公理，有些东西推不出来。这个叫做公理系统的完备性，他提出来公理系统的三条逻辑要求，就使得人们对公理系统的考察，有了逻辑根据，这个是对整个数学的严密性一个很大的贡献。　

他的公理第二个推动数学抽象化趋势很大的特性，就是说，公理系统里面的对象，他研究的对象，是抽象的。不是像欧几里得的几何里面它这个公理系统的对象就是具体的点线面，那么他认为，这些公理系统的对象，本身的内容并不重要，重要的是这些对象，按照他的公理里刻划的相互之间的一些关系，比如说，距离，或者是线段的大小，这样一些东西的话，这些性质的话，他是要用公理来刻划的这些性质关系是本质性的至于说这些对象本身是点也好，线也好，面也好，他说过一个笑话，一次在火车上，碰到另外一个数学家，人家问他，你的公理化系统是什么意思？能不能简单地给我说一下，他开了一个玩笑，他说，你可以把点线面，换成桌子，椅子，啤酒杯，然后它照样符合这些公理，那么它照样可以成为你这个公理系统的研究对象，这当然是一个笑话，大家听起来会感到荒谬，但是，我往后面讲到的时候，大家会感到这样一种思想，增加了数学的抽象性，同时也提高了它的可用性。这是希尔伯特对数学公理化方法的特点。　

那么这样一个公理化的方法，跟康托集合论的观点，经过发展的集合论的观点，朝向的集合论的观点结合起来，就推动了20世纪数学的抽象化趋势，使得20世纪数学在更抽象的道路上，高度抽象的道路上发展，而且，产生了导致了四大抽象学科的诞生，这是跟过去的数学不一样的学科。一个叫做实变函数论一个就是泛函分析，还有一个是抽象代数。第四个是拓扑学，这样四大抽象学科的诞生，而这四大抽象学科，所产生的一些概念，方法，定理它们又渗透到数学已经有了其他的学科，像数论，是吧？实变函数论，代数，几何，概率论，等等，微积分，很多其他的分支里面，就引起了这些分支的变革。那么这样就形成了20世纪抽象数学一个很巨大的潮流。　

我想我们还是按照我们经典之道的分析，跟代数还有几何这么三个领域来看一看，我们比较熟悉的领域来看一看，20世纪纯粹数学的发展，引起的概念上的一些变革。在分析领域里面，我想，20世纪开门红的一个成果是叫做勒贝格积分。这是在1902年，当然它完成实际上是1901年就做出来了，1902年发表的，勒贝格，法国数学家，叫勒贝格积分理论。这个积分理论引起了积分概念的变化，这种变革表现在什么地方？　

就是说，过去在19世纪的积分，一般我们叫做黎曼积分，这个黎曼积分，我们学过微积分的就知道，他是把数，数轴横轴上面就是函数的X轴上面的线段，积分区间把它分成很多小的区间，N个小区间，每个小区间取一个点，在

这个点上取函数值，这个函数值，跟区间的长度相乘，然后求它的和，然后，让N趋向无穷的时候，你得到一个积分，定积分值，这个叫做黎曼积分，这是

这种积分就一个缺陷，就是它对一些非正常的或者我们叫怪异的一些函数，或者叫病态函数，当时的数学家把它们叫做病态函数，这个积分就没法积，为什么？你在每一个区间上求一个点，求一个函数值让它和要有极限的话这个函数不能太坏，如果这个函数在那儿蹦来蹦去的话，那你这个极限就会是不一样的按照它的定理这个积分就不存在。　

比如说我们举一个通常知道的病态函数。在0跟1这个区间上在所有的有理数的点上，这个函数等于1。在所有的无理点上它等于零这个函数你就不可能

去按照黎曼函数给它积分这是一个病态函数。那么这个但是这些病态函数还有很多其他的病态函数，这些病态函数在数学家看来是病态的，但是，在物理学里面，很有用。所以它们的积分是数学家们关心的怎么样把原来的积分概念推广，使得它能够适用于这些病态的函数，那么，勒贝格解决了这个问题。

他的想法反过来，把这个区间划分开，不是划分自变量，X轴的这个线段，而是把应变量函数值，取值的这样一个值域，把这样一个区间把它划分。那么在值域上划分的时候，大家可以想象它划分出来在X轴上相应的自变量点的分布，可能会很乱。它不是一个线段，那么这个里面，怎么样求这样一些集合的长度呢？勒贝格积分的推广是以推广长度为基础的，就是说我们知道长度，我们过去都是对线段，就是一个线段，连续的线段，我们可以量它的长度，定义它的长度，那么很多线段加起来那也可以定义它的长度，现在，勒贝格，在勒贝格之前，法国就有一些数学家，像波莱尔，他已经把长度的概念推广了。满足一定条件的集合我们可以定义它的长度，这个长度的定义是你原来的欧几里得空间里面这样一个线段的长度为基础的。以它为基础，来推广对于某一种程度的集合，我可以定义它的长度。这个长度的概念，后来数学家们就把它叫做测度，比方我刚才说的有理点，在这个数轴上面是无穷多个。所以，有理点形成的集合它可不可以是测量它的长度？这个问题在过去的话你就没法量，按照勒贝格之前，就波莱尔他们发展的推广的长度的概念，就可以说，这个集合的测度，它的所谓的广义的长度是0，而无理数的点也是无穷多个分布在数轴上面，在0跟1之间。比方说，无理数有好多个但是它不连续，任何一个区间里面都会有空档，这个空档就是有理数把它刨掉了，那么这个线段长短，按照过去经典长度概念，也是不能测量的但是现在有了测度概念以后，就是广义的长度概念以后，可以说这样一个集合，0跟1之间的无理数的集合的长度是等于1这样的话他把长度的概念，就利用集合论的观念，我刚才一开始说了，集合乱的观点是很重要对于抽象化。他利用集合论的观点，把长度的概念，从通常的欧几里得长度推广到更广泛的集合上面去。　

对于一些不连续的，很奇怪的一些看起来杂乱无章一些电视机集合可以去定义它的长度，这样一来的话，积分的概念推广就有了基础，这样的话，法国的数学家勒贝格就把积分的概念，给推广了。推广成我们现在叫做勒贝格积分,勒贝格积分就使得一些病态函数我们可以建立积分，而这些函数的积分我刚才讲了，在物理学里边很有用的。当然这种推广，我想20世纪它是一个开门红。

那么，勒贝格积分的话，我刚才讲了，包括长度概念的推广，跟积分概念的变革。而它们的变革又引起了导数还有函数概念一系列的变革。所以，建立了一门新的微积分，就是在这样勒贝格积分的基础上，建立起来的微积分叫做实变函数论，在实变函数之前出现的分析叫做古典分析，我们习惯上就把勒贝格积分以后的分析叫做现代分析。那么，它引起来的一个进一步的变革，想很重要的是函数概念的变化。　

函数经典的定义，就是说，应变量和自变量之间的对应，一种对应关系，那么现在我们定义函数的时候，用所谓映射，映射的观点，这个映射这个观点可以说是函数概念的一种推广，这个映射就是说，对应的关系可以不一定是数,它可以是一个集合有的抽象元素的集合，到另外一个集合的元素之间的对应关系。这一种对应关系就是一种映射我们现在叫映射，这个映射，实际上是函数概念的一种推广。它使得这种对应关系，可以推广到一个任意的抽象的集合上面去在代数领域，我想，它的变革，我想也是非常重要。而且我想这个变革也影响了整个数学的其他的分支的，这就是说我们代数学，在17世纪以前，或者说在19世纪以前，我们基本上是研究方程，解方程，或者是我们说是研究数跟数之间的运算，运算这种运算它关系有什么性质，比方满足什么交换率，满足结合律，分配律，我们研究这种性质，这是初等代数。或者说19世纪以前代数的主要内容，到了19世纪以后，由于法国数学家伽罗华，提出来群的概念，那么这个代数学就逐渐地发展，变成了讨论不是数跟数之间的运算，而是一些抽象元素之间的一些运算的关系，而这些运算，符合一些性质，那么这些性质是用公理来描写的这样一个研究代数的方法，我们现在所谓代数结构，这是现在数学里边用得非常广泛的一个研究的方法，后来这个代理结构的研究方法，又被推到整个数学里边，产生一般的数学结构，这就是法国数学家学派，一个数学家集体了，叫做布尔巴基学派，它把抽象代数里边的这样一个代数结构的观点，引申到研究整个数学结构，一般的数学结构，他提出来，除了代数结构以外，还应该有拓扑结构。还应该有续结构。　

就是发展到用一般的结构的观点，来研究数学。　

那么这个结构的观点研究数学我想它的本质还在于它的公理和这个公理化方法引进到代数里面来，引起了整个代数的面目全非。20世纪面目全非，那么这套方法，作贡献最大的是布尔伯特的一个学生，一个女数学家，叫艾米诺特,可能我们听说过，她在哥庭根领导了一个代数学派，这个代数学派对我刚才讲的说代数结构，抽象代数的发展，起了奠基性的作用。20世纪代数领域，它不再是研究具体的数之间的运算，跟他们的性质，而是研究一般的抽象的代数结构，这个代数结构什么意思？就是有一个集合这个集合里面有一些抽象的元素,这个元素里边，定义了一种运算这种运算也可以类比成加法也好，类比成乘法也好，也可以定义几个运算，但是这些运算之间要满足一定的关系一定的性质这个性质是用公理来刻划的用公理性质来刻划的，这就是我们今天研究抽象代数的一个方法，我讲起来大家可能会感到抽象但是它的用处是非常的广泛，下面我就进入到比较容易讲的几何领域。　

我们来看看几何领域20世纪在一些基本观念一些概念上有什么变革，我想欧几里得几何的这种绝对的空间观念，用6个字来描写，这个可能不太恰当，但是我想比较直观，就是三维的，或者你在二维一维考虑的时候，那就不能超过三维，三维的平直的不能弯曲的刚性的，就是说你这个任意，你研究几何学它的空间任意两点距离你管怎么挪，它是不能动的不能变的，不能拉长也不能缩短。那么，我想，大概欧几里得几何大致上可以用这6个字来说。在实际应用，我刚才讲了，非欧几何，对欧几里得的第五公设提出怀疑以后，提出来的非欧几何的发展等等，已经把欧氏集合的框框已经开始打破了。　

可以这么说，19世纪后来几何学的发展，都是沿着非欧化的这个路线发展的一个是把三维突破成高维N维，我们欧氏几何一般研究现实空间三维，那么

在19世纪已经突破到N维，研究高维的空间，那么，平直的这一点，我想狭义

的像罗巴契夫斯基几何也好，罗巴契夫斯基几何就是一个双曲的一个弯曲的集合这个空间是弯曲的它不再是平直的所以，非欧几何的发现，实际上把这一点也给打破了。　

那么关于刚性，我想最简单的例子就是摄影，摄影几何它的发展，实际上摄影几何两点之间的距离是不再保持不变的，那么它是要变化的。但是我想对于刚性这一点，最大的突破，是在20世纪，我先讲这个维数，在20世纪，我刚才说了19世纪几何学从三维突破到N维，20世纪有没有什么变化呢？20世纪我

想我们的几何空间，已经从两个方向突破，一个是产生了无穷维的几何这个无穷维空间，就是在刚刚说的分析的变革上引起的。就是我刚才说的函数，这个集合，实际上是一个把每一个函数看成一个点的话那么它是一个集合，这个集合可以看成一个空间，那么，其中有一函数的空间，它实际上是无穷维的它的维度，如果你一定要用维数的观点来刻划它的话，它是无穷维的。　

我举一个例子，这个无穷维空间的概念，是希尔伯特刚才讲的公理化方法的发明人，希尔伯特提出来的。他在研究积分方程的时候，提出来，就是由无穷多个实数组成了一个组，A1A2一直到AN，一直到无穷，这样一个每一个AN都是一个实数，这样无穷多个实数放在一起，它看成一个元素，看成一个组，一个元素，那么所有这样的元素的集合，它在这个集合上面定义了一些运算，定义了运算以后，他认为构成一个空间，把每一个这样的元素看成一个点构成一个空间，这个空间的维数是无穷维的所以，希尔伯特这个无穷多个实数构成的集合的全体是第一个无穷维的一个空间的一个例子。那么所以后来他的学生就把这样的空间叫做希尔伯特空间，希尔伯特空间在20世纪物理学数学里面，到处都在用。无穷维这是无穷维。　

后来，实变函数的发现就发现这个函数空间，就是刚才不是讲勒贝格吗？所有的平方所有的函数如果把它平方以后，能够求勒贝格积分的所有这样函数的全体，跟刚才讲的无穷实数组这样一个全体的集合是等价的是可以一一对应的。也就是说所有这样的函数的全集，构成的一个集合可以看成一个无穷维的空间这样的话就把空间的概念，从有限维N维推广到了无穷维这是一个方向。

另外一个方向突破的维度概念取得突破的是20世纪后半叶发现了分数维。就是说，空间的维数不尽可以是有限的维，不光三维，可以是N维，高维这在

19世纪就已经知道了。那么到了20世纪还可以有无穷维，现在，数学家们发现,空间的概念还可以推广到分数维，关于分数维这个空间的几何，就叫分形几何这完全是20世纪新建的一门几何学。　

在20世纪，我想拓扑学，这样一个新的学科，就刚才我讲的四大抽象学科当中的一门，它实际上是对刚性欧几里得集合里面空间里面刚性原则一个最大的突破，那么经过这样一种变革，空间，概念本身，就发生了很重要的变革。就是现在20世纪数学家我们现在的数学家心目当中的空间，它是一种抽象的结构，就是我刚才讲的一种结构，也就是说空间是一些集合，是一些元素的集合这些元素是抽象的它是什么我不管它，而这些元素之间有一些关系，这些关系是用公理来刻划的。这些例子就说明20世纪数学抽象的趋势，高度抽象的趋势。　

那么数学这种抽象的性质是跟它的另外一个特写，所谓广泛的使用性，多用性是紧密相联系的。数学它正因为它有它的高度的抽象性，所以，它才有它广泛的实用性，数学的广泛的用处正是从它抽象的特性来的20世纪数学高度抽象化的发展，说明了它数学这种抽象化的特征，跟它的广泛的实用性特性之间的联系是比以往任何时代都更加密切。更加深刻。也更加复杂。更加奇妙。那么在20世纪数学的应用跟以前的时代有什么不一样的呢？我想主要也是表现在三个方面。　

第一个方面就是数学的应用它突破了传统的范围，像人类几乎所有的知识领域渗透。那我现在，我只要举一下在20世纪发展起来的一些的数学应用到其他的学科里边产生的边缘分支，我想就能说明问题，20世纪我可以列举出来的交叉的分支有像数学物理，这是物理，数学在物理里面的应用，还有我们有数理化学，化学里边现在用的不是简单的一元二次方程，而是很复杂的微分方程,还有很多是数学家本身都没有办法，感到束手无策的非线性微分方程。还有数理气象学，现在的气象预报也是建立在数学的基础上的。我想大概如果没有数值分析的话我们现在不可能有这么精密的天气预报。　

剩下来还有数理考古学，我们现在考古也用到很多数学。第二个特点我说,纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，我说这是双向的刚才说的是数学几乎向所有的科学技术或者人类的知识领域渗透，第一个方面，数学的几乎所有的分支都参与了这种渗透至于它最抽象的部分，比如刚才说的抽象代数，我刚才就没有能够再深入地往下面讲，抽象代数的确是非常抽象，但是它在20世纪找到了它的应用，抽象的群论跟抽象代数在物理学里面，我在我们描写自然界的对成现象里面，是有广泛的用途的。那么，我说最抽象的领域除了群论，还有像数论，数论，就是研究自然数的性质，我们的哥德赫特猜想就是这样一个数论问题。那么这个数论有什么用呢？是不是光是自然数之间的一种游戏呢？智力难题呢？不是的。　

数论所以它在现代的编码理论里面有非常重要的应用，另外还有就是拓扑学，就是所谓的橡皮泥集合，它是有很具体的应用，比如在生物学里面，有我刚才没有讲的就是说，我们在50年代发现了生物的高分子结构，是一种螺旋结构，双螺旋结构就是它的较分子是两个分子链在里面相互缠绕，这叫双螺旋结构，那么，从数学来讲，就是两个封闭的曲线，或者叫无穷的曲线它怎么相互传导，这种正好在拓扑学里面有个分支叫做纽结理论，就是专门来研究绳结的理论的。两根绳子，或者几根绳子相互缠绕，打结，那么它缠绕的情况不一样就会影响到分子生物学的特性所以它就很重要，这个正好拓扑学里面有一个分支叫做纽结理论就是专门研究这种东西的。那么所以，后来有一些数学家也参与了就是说，用纽结论的方法来计算高分子链就相当于两根曲线，它们相互缠绕的所谓缠绕数，这样一些拓扑学的指标，那么，得到了这些数字，就可以对高分子的结构，有一些认识。从而也就可以对高分子的性质有一些认识，这就是非常抽象拓扑学在生物学里面也是有广泛的应用的。　

这是就我说的纯粹数学，几乎所有的分支都获得了应用。包括一些最抽象的分支。　

第三个，就是说，20世纪数学空间广泛应用的特点就是说，现代数学对生产技术的应用便的越来越直接，我说的是直接，我刚才讲了，数学的应用，有的时候要拐弯抹角的，是曲折的不一定说你今天发明了明天就有用，那么这种应用呢？在20世纪，应用的频率跟周期是越来越短，应该承认这一点。就是说,比方说我举几个例子，刚才讲的拉东积分它很快地就被用到了CT扫描仪里面，那么我想还有小波分析，也是近代最近多少年在调和分析基础上发明起来的，它集合一发明，人们就发现，小波分析在通讯，还有计算机图象压缩，什么这些里边有很重要的应用，它是一种分析，数据分析，还有在石油勘探里面也有广泛的应用。那么，我这儿就是说几个对比，来说明数学应用周期的缩短，当然这个例子大家可以举出说，你这个可能会有很多反应，但是我想多多少少能说明问题我说一下　

我们知道，圆锥曲线是在公元前4世纪，希腊人就已经发明了，圆锥曲线，椭圆，双曲线，抛物线，但是，这个圆锥曲线在2000年当中，应该说是没有什么太多的用处。没有什么太多用处的它的最重要的应用是到了17世纪，开普勒发现了行星的运动规律，三大定律，就发现行星运动的轨道是椭圆，也就是说是椭圆曲线当中的一种是椭圆。那么后来，牛顿从数学上证明了在这样一个引力的定律之下，在他的牛顿三大力学的定律之下，退出来的行星的轨道，必然是一个椭圆，而且对椭圆曲线用微积分的办法做了很多研究，所以，椭圆曲线一直到2000年以后，应该说才知道找到了它的重要的应用。　

那么非欧几何是1830年左右发明的。就算用到广义相对论里面是1915年差不多一个世纪不到。而麦克斯韦方程，我们知道是1864年发明的，1864年英国数学家，物理学家，发现了描写电磁波理论的麦克斯韦方程，根据这个方程，他预报，有一种波存在就是电磁波，电磁波当时是不存在的不知道。那么，麦克斯韦是根据他这一套抽象的数学方程预报，预言我们自然界存在这样一种看不见的电磁波，到了1895年，这个中间不到半个世纪就30年多一点吧，这个马可尼跟波波夫，当然他们之间有一些争论，到底谁是发明人，但是，差不多时候吧1895年，他们发明了第一个无线电报，就是真正找到了麦克斯韦根据他的数学方程预言的这样一个电磁波而且把它变成了无线电报，这中间是30多年。

还有刚才讲的无穷维的希尔伯特空间理论，用到量子力学跟光谱理论里面,我们知道，希尔伯特空间理论是1912年提出来的，量子力学的完成是1927年，这也是很快就找到应用这么抽象的东西，拉东积分是1913年我刚才讲的用到CT扫描里面是1963年到1969年，我想，大概数学在实际当中的应用，这个生产当

中的应用它会越来越直接。频率会越来越快，这个我想是一个趋势。还有最后一个特性，数学在向外渗透过程当中，产生一些相对独立的应用学科这些学科它并不是像生物数学，数学物理一样，数学光是应用到物理里边，光是应用到生物里边这种独立的学科，比方有数理统计，运筹学，控制论，可以举出一些来，刚刚讲的这三个是最重要的。那么这些学科它有自己独立的方法，数学方法，它应用的范围也不光是一个学科它可以比较广泛。　

那么这三个学科的发展我就具体不讲，这个没有时间讲，我特别讲讲控制论，控制论是在二次大战的时候，为了解决打飞机，这样一个问题，用高射炮,或者我们今天就是导弹打飞机，我们知道飞机在天上飞，我们可以算它的位置,但是我算出它某一个时刻，T时刻的位置以后，比方T1时刻的位置，我地上的

炮弹或者导弹，我不能就打一个炮弹，打到T1这个位置，这个飞机还在往前动,所以我需要预报预测这个飞机的位置。在下几个时刻的位置，然后使得我的炮弹调整一个发射的角度，使得我们炮弹跟飞机在某一个时刻能够在天上同一个地点，同一个位置上面相遇，这样才能打到它。这个所谓预报问题成为控制论的一个主要来源。它的主要发明人奠基人是美国数学家维纳，诺伯特维纳。

今天这个控制论用处就非常广泛了，讲到控制论，我想中国人也有贡献的。控制论的创业，就是说，维纳他在创立控制论前夕，在中国，1936年，呆过一年，在清华大学。他后来写了一本自传，他把他在清华大学呆的这一天，说成是对他的控制论的创造有非常重要作用的一年，这一年当中，他跟很多中国数学家交谈过，也跟其中一个中国的工程师，叫做李郁荣他们密切或作，后来第二次世界大战以后，李郁荣因为在上海他非常困难，抗战的时候，维纳又把他请到德国，在麻省理工学院做教授。他应该说在控制论的发明当中，也起了一些作用，我刚才讲的是数学的空前的广泛的应用。在20世纪一个很重要的四大特点。