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当轴心受压时，有  ，再将方程（2）两边同时除以 ，展开后则方程（2）成为
 (3)
这就是L形钢异型柱在轴心受压情况下的稳定方程，它是关于压力P的一元三次方程。我们将根据一元三次方程根的性质，求解它的根。
2 换算长细比
由文献[1]我们知道，方程（3）是齐次方程（4）的特征方程。
 (4)
将方程（4）写成如下形式：
令：  
得： （５）
因为 为对角阵，且各主元素都大于零，而 ，所以矩阵、 的各阶顺序主子式的行列式均大于零，且矩阵、均为实对称矩阵，根据线性代数有关定理可知、均为正定矩阵，L形钢异形柱轴心受压承载力是正定系统。类比机械振动理论 问题，其中 为系统的刚度矩阵，  为系统的质量矩阵，、都为正定矩阵，则由 解出的 个  的值，即、矩阵对的广义特征值均为正实数，且互不相等。由此得出，本文方程  的根是、矩阵对的广义特征值  ，展开后一元三次方程（3）的根是三个正的互不相等的实数。求解如下。
令：  
  （6）
于是方程（3）就可以简写为：
 （7）
再令  ，方程（7）就可以表示为：
 （8）
令：  
所以，方程（8）就可以表示为：  （9）
根据本文所研究的问题，可以证明
 （10）
    （11）
由此，我们利用卡丹公式的根的三角函数表达形式，就可以得出一元三次方程（9）的三个根  、  、 为：
（12）
式中：   （13）
所以，一元三次方程（3）的三个根  、  、 为：
   （14）
由于、、为三个互不相等的正实根，因此，L形钢异形柱在轴心受压情况下的临界力的理论解为： 。下面比较、、三个力的大小：
通过分析可知：  ，  ， 
 ，  ， ，
  、 且
   且 又 
 即 
即L形钢异形柱在轴心受压情况下的稳定临界力的理论解为：
 （15）
若定义： （16）
式中  为柱换算长细比，结合（15）式，并将（6）、（13）等参数代入，再 令
 （17）
则得： （18）
这就是L形截面柱换算长细比。
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