项目简介：  

本项目受国家自然科学基金重点项目（整体微分几何及其物理应用）和国家973项目（核心数学的前沿问题）的支持，属基础数学研究领域。研究成果主要包含二个方面：

成果一：

对一般辛流形率先提出并建立了相对Gromov-Witten不变量理论，其结果发表在国际顶尖数学杂志《Invent. Math.》上。

这是一项基础性的工作，在辛拓扑，Hurwitz数，双有理几何，Mirror对称等很多问题的研究中有重要应用。利用这套理论, 本项目完成了E. Witten穿墙公式的数学证明；证明了任何两个三维光滑极小模型有同构的量子上同调环, 并且这个同构是由flop手术所诱导的；证明了量子上同调在逆conifold变换下是自然的，这揭示了量子上同调与双有理几何之间的深刻联系。

该成果被国际同行广泛引用，他人引用已有60多篇。许多引用论文发表在国际数学著名刊物上，如Ann.of Math.,Invent. Math.,J.Diff., Duke. Math.J.等。

成果二：

把相对GW不变量和辛手术理论应用于研究黎曼面上的分歧覆盖的Hurwitz计数问题。Hurwitz计数问题的研究已有百余年历史，近年来由于弦理论，尤其是关于模空间上的Hodge 积分理论的发展，该问题引起了数学家和物理学家的广泛重视。长期以来，经典的研究都是将Hurwitz数联系到置换群的分解，本项目率先将Hurwitz数与相对Gromov-Witten不变量联系起来，导出了计算Hurwitz数的递推公式和 Cut-Join 方程，这个方法是全新的。论文发表在国际重要的数学期刊Commun.Math.Phys.。论文发表以来，国际上他人引用已20篇，其中的许多论文发表在国际数学著名刊物上，如Ann.of Math., J. Diff. Geom. 等。

主要发现点：

本项目的新发现是：

1. 率先提出并建立了相对GW不变量理论：1）引进了相对稳定全纯映射的模空间，2）证明了一个紧性定理并定义了相对GW不变量；3）导出了GW不变量在辛Cutting手术下的粘合公式（又称退化公式）。这是一项基础性的工作，有很多重要应用。如辛拓扑、Hurwitz 数、双有理几何、 mirror 对称等。利用相对GW不变量理论，完成了Witten穿墙公式的数学证明；证明了任何两个三维光滑极小模型有同构的量子上同调环；证明了量子上同调环在逆conifold变换下是自然的。

2. 率先把相对GW不变量和辛手术理论用于研究黎曼面上的分歧覆盖的Hurwitz计数问题。通过把Hurwitz数解释为相对GW不变量，导出了计算Hurwitz数的递推公式 和 Cut-Join 方程，为该问题的研究提出了全新的观念。

主要完成人：

1.  李安民

【1】率先提出并建立了相对GW不变量理论：引进了相对稳定映射的模空间，证明了紧性定理，从而引进了相对GW不变量，并应用它证明了GW不变量在辛Cutting手术下的粘合公式（退化公式）。利用相对GW不变量理论，完成了Witten穿墙公式的数学证明；证明了任何两个三维光滑极小模型有同构的量子上同调环；证明了量子上同调环在逆conifold变换下是自然的。该文含分析部分（相对稳定映射、相对GW不变量、退化公式）和代数几何部分，论文的主要部分是分析部分。该文是李-阮长期合作的结果。李安民对分析部分做出了关键的贡献。

【2】率先把相对GW不变量理论用于研究Hurwitz问题，导出了递推公式和Cut-Join方程。李安民在其中起主要和关键作用。

10篇代表性论文：

1.   Symplectic surgery and Gromov-Witten invariants of Calabi-Yau 3-folds, Invent. Math. 145, 151-218(2001)

2.   The number of Ramified Covering of a Riemann Surface by Riemann surface, Commun.Math.Phys.213, 685-696(2000)