项目名称： 基于调和映射的移动网格方法及其应用

推荐单位： 教育部

项目简介： 所属科技领域：数学、计算数学。

研究内容：基于调和映射构造逻辑区域和物理区域之间的坐标变换，实现网格迭代移动；考虑边界网格和区域内网格同步移动；利用移动网格逼近空间(时间方向)连续变化的特点，设计满足偏微分方程(PDE)和解所具有的性质(如守恒等)的新旧网格之间解重映算法；研究PDE的保持物理性质的计算方法，将其与网格迭代重分布结合，发展求解PDE的一类基于调和映射的分裂型移动网格方法。将移动网格方法推广应用于一般流形（如球面）上的PDE求解；面向应用，深入研究解重映和控制函数的选取。开发有自主知识产权的自适应网格方法软件包。

科学价值：网格是PDE数值解法的基础之一，网格体系和质量直接影响着计算效率和精度，甚至关系到计算的成败。自适应网格方法已成为国际上现代科学计算的一个研究热点，在大规模科学与工程计算中有很好的应用前景。我们提出的基于调和映射的分裂型移动网格方法彻底解决了过去的高维移动网格方法引起的网格缠绕问题。提出的区域边界和内部网格相互耦合的移动方式、新旧网格间保持物理性质的解重映对提高计算精度和质量均具有特别重要的意义。网格的重分布和PDE的求解相对独立，极大地提高了程序编制的效率，非常有利于算法的程序开发和实际应用。

引用评价：参评10篇论文主要发表在行业内最好的杂志如J. Comput. Phys., SIAM J. Numer. Anal., SIAM J. Sci. Comput., J. Sci. Comput.等，已被他引199次, 其中SCI他引130次。部分引用评价："Adaptive methods ... have been developed by Tang et al. [16]. ... their results are very impressive."(摘自B. Cockburn and B. Yenikaya, J. Comput. Phys., 209(2), 2005, 391-405)；"目前采用调和映照构造网格是最好的,……可避免因网格移动可能带来的网格缠绕,……,我国青年学者张平文,汤涛,李若等在此方向做了重要的创造工作[82,83]。"(摘自陈传淼, 科学计算概论, 科学出版社, 2007,71-72)。

主要发现点： 下列 1,2,3,4为核心发现点，5,6 为其它重要发现点。

1. 利用调和映射构造逻辑区域和物理区域之间的坐标变换并采用一个迭代的过程来实现网格的移动, 彻底解决了已有的高维移动网格方法中网格可能发生缠绕或折叠问题。也考虑了调和映射的推广和改进使其自然地完成区域边界上和内部的网格相互耦合的移动方式，根本地避免了过去的移动网格方法中边界和内部网格必须分开处理的问题，使得产生的网格的质量更高，有效地提高计算的精度。[参评论文1,2,3,4,6,9,10；所属学科领域：偏微分方程数值解]

2. 基于移动网格逼近空间(在时间方向)连续变化的特殊特点,设计了满足控制方程和解所具有的性质(如守恒，无散度等)的新网格和旧网格之间的解重映算法。结果表明这样的重映算法比传统的多项式插值具有更好的性质，它可以自然地保持所求的解的一些固有物理性质。[参评论文1,2,3,4,6,9；所属学科领域：偏微分方程数值解]

3. 发展了在一般网格上的偏微分方程的一些保持物理性质的计算方法；将其与网格迭代重分布和解重映结合，发展了求解微分方程的一类基于调和映射的分裂型移动网格方法。网格的重分布和偏微分方程的求解相对独立，极大地提高了程序编制的效率，有利于算法的应用。[参评论文1,2,3,4,6,9,10；所属学科领域：偏微分方程数值解]

4. 这些算法已经被包装于有自主知识产权的软件包AFEPack(国家软件版权局软著登字第BJ5586号）中。

5. 将调和映射成功推广应用于球面上的偏微分方程的求解，解决了球面上的奇性问题（如Fokker-Planck方程）的计算，很大程度上提高了计算效率和精度。[参评论文10；所属学科领域：偏微分方程数值解]

6. 面向应用、针对具体问题， 对一系列比较难于处理的典型时间发展问题进行了计算且获得了非常好的效果。具体问题包括非线性对流扩散问题、反应扩散问题、多相流问题、磁流体力学问题等。[参评论文1,2,3,4,5,6,7,8,9,10；所属学科领域：偏微分方程数值解]

主要完成人： 张平文

本人对该项目《主要发现点》栏中所列第1,2,3,5和6发现点做出了创造性贡献。本人在该项研究中底工作量占本人工作量的70%。

汤涛

本人对该项目《主要发现点》栏中所列第1,2,3,5和6发现点做出了创造性贡献。本人在该项研究中底工作量占本人工作量的70%。

李若

本人对该项目《主要发现点》栏中所列第1至6发现点做出了创造性贡献。本人在该项研究中底工作量占本人工作量的80%。

汤华中

本人对该项目《主要发现点》栏中所列第1,2,3,6发现点做出了创造性贡献。本人在该项研究中底工作量占本人工作量的80%。