项目名称： 分布参数系统控制理论的几何方法及相关问题

推荐单位： 中国科学院

项目简介： 本项目研究的是分布参数系统控制理论. 本项研究针对有着明确工程背景的振动系统, 逐个进行控制理论分析. 一维问题有: 弦振动问题(吊桥铁索), 梁振动问题(细长飞行器); 高维问题有: 波动问题(声波), 板振动问题(大型太阳能帆板), 薄壳问题(潜水艇). 研究的主要目的是对工程控制噪音, 消除振动提供理论依据和理论指导.

在1986年之前, 分布参数控制理论界在假定材料是均匀的条件下,对波动问题和板振动问题建立了边界控制及内部控制理论. 该理论的主要内容是说, 只要材料是均匀的, 人们总可以在边界或内部施加控制来控制波和薄板振动系统. 这方面的代表人物有前法国科学院院长 J. L. Lions 和曾是著名杂志SIAM J. Control. Optim. 主编的 E. Lagnese 等. 当材料是非均匀时(密度和厚度非常数), 由于原有方法失效, 这些问题的研究在理论上十分困难. 1988年, J. L. Lions 在SIAM Reviews 将这一问题提作公开问题.

姚鹏飞1999年工作(SIAM,1999) 引入全新的工具--黎曼几何理论, 建立了非均匀材料(变系数)波问题的控制理论分析, 回答了Lions问题. 随后, 几何方法的扩展使得一系列控制界所关注的问题获得解决, 如非均匀材料(变系数)板的控制问题等. 特别是姚鹏飞2000年的工作(SIAM,2000), 用黎曼几何中著名的Bochner技巧, 开创了薄壳控制问题的研究.

本项目引入的几何方法, 已经形成了一个在分布参数系统控制理论方面的新的研究方向, 得到了国际同行一系列高度评价. 他人引用170次，其中SCI他人引用103次。特别地，该几何方法已经被国际同行，如美国，法国，意大利，保家利亚等国的同行广泛用于若干分布参数系统控制理论的研究中。 如最近Gulliver 等人的109页综述文章 IMA Volumes in Mathematics and its Applications 137 (2004, Springer出版)叙述了姚鹏飞及其合作者10篇文章中的主要结果并有大量评论，指出姚鹏飞引入的几何方法形成一个新的研究方向, 99年的工作是这个方向上"原创性“工作。

主要发现点：

1、 核心发现点：

发现了解决等密度材料控制理论所用乘子方法其实是仅适用于"点度量"情形。第一次引入黎曼几何理论建立了变密度材料波动问题控制理论与黎曼几何理论的密切联系，创立了研究分布参数系统控制问题的几何方法（代表论文1, 最优化）。

2、其它重要发现点：

(1) 首次用整体几何理论建立了薄壳数学模型和研究了薄壳的可控性问题，为薄壳的建模与控制研究提供了一般的研究工具（代表论文2，最优化）；

(2) 第一次用黎曼几何理论研究了变系数薄板控制问题（代表论文3，最优化);

(3) 给出了一个C0半群有用的积分表达式，该公式算子值积分收敛（代表论文4，线性算子理论)。

主要完成人： 姚鹏飞

申请人 独立发现《主要发现点》栏目中全部发现点。申请人完成了代表论文1－10中主要工作。 申请人在本项研究中的工作量占申请人全部科研工作的85%。