项目名称： 人工边界方法与偏微分方程数值解

推荐单位： 中国科学院

项目简介：

本项目属于计算数学和科学计算研究领域，该领域的核心是偏微分方程数值解。本项目特别研究有广泛应用背景的无界区域偏微分方程的数值解。区域无界带来的本质困难使已有的许多计算方法难以满足需要。本项目提出并发展了适于求解该类问题的人工边界法、自然边界元法及相关计算方法，建立了坚实的数学理论基础，取得了一系列首创的研究成果。

本项目由余德浩、韩厚德共同完成。主要研究成果有：系统发展了求解各类问题的自然边界元方法，特别对椭圆型偏微分方程得到了相当完整的结果；发展了各类人工边界方法，给出了一系列高精度的人工边界条件，并应用于科学和工程计算的许多领域；提出了边界元与有限元的对称直接耦合法；建立了自适应边界元的数学基础等。此外在超奇异积分计算，无界区域分解算法，低阶四边形非协调元的构造和应用，矩形网格下双p次有限元的渐近准确后验局部误差估计，边界积分--微分方程的数值解，变分不等式问题的边界元法、奇异摄动问题的数值方法等相关方面也有首创的研究成果。曾独立获得中国科学院自然科学奖一等奖，作为第一完成人获得国家教委科技进步一等奖等多项科技奖励。

本项目凝聚了项目完成人近三十年的研究工作, 包括出版专著中、英文版及发表学术论文160余篇，其中被SCI收录101篇。论著被他人引用987次，其中SCI他引685次，CSCD他引236次，国内外专著他引66次。本方向一些重要专著列专章引述。开创性工作经受了长时间考验，获得国内外同行广泛引用和高度评价，引发了大量后继工作，并在科学和工程许多领域的计算中获得成功应用。美、德、日等国著名专家评述该成果为"边界元中国学派的标志"，"该方向最值得注意的论文"，"有限元与边界元耦合的两个基本方法之一"，指出余和韩"应作为DtN方法的创立者被提到"。美国Keller学派在公开书评中承认他们随后发展了"类似"方法，表示因"中国学者的工作长期不为西方所知"，故他们"在西方独立发展了DtN方法"。

主要发现点：

1. 核心发现点 

首创与经典边界元法完全不同并有许多独特优点的自然边界元法和人工边界方法，提出了与有限元自然直接耦合的对称算法，应用人工边界上的自然积分算子将无界区域问题简化为有界区域问题，并保持与有界区域有限元法相同的计算精度。(偏微分方程数值解，积分方程数值解，代表性论著[1,2,3,4])

2. 其他重要发现点 

(1)自然边界积分算子正是人工边界上的准确的边界条件，基于此系统发展了适于求解无界区域偏微分方程问题的人工边界方法，并针对多种重要的应用问题设计出一系列高精度的整体人工边界条件、局部人工边界条件和离散的人工边界条件，将无界区域上的问题简化为带近似人工边界的有界区域问题进行数值求解。(偏微分方程数值解，积分方程数值解，代表性论著[1,2,4,9]) 

(2)首次提出了积分核级数展开法等超奇异积分的计算方法，巧妙地解决了边界元法中超奇异积分计算及超奇异积分方程的求解问题；提出了无界区域的区域分解算法，更便于计算。(偏微分方程数值解，积分方程数值解，代表性论著[1])

(3)首次给出了矩形网格下任意双p次有限元的渐近准确后验局部误差估计，指出双偶次元与双奇次元误差估计的本质差别，这些结果当时就被作为美国马里兰大学自适应有限元软件的编制依据；最早提出以超奇异剩余作边界元后验误差估计，首次建立了自适应边界元方法的严格的数学基础。(偏微分方程数值解，积分方程数值解，代表性论著[6,8,10])

(4)给出了以四边形边的中点和中心为节点的一种低阶四边形非协调单元，并将它应用于Stokes问题，Navier-Stokes问题的有限元数值模拟，得到了有限元解的误差估计。在边界积分-微分方程，变分不等式问题，不适定问题和奇异摄动问题的数值解方面也得到了重要的研究成果。(偏微分方程数值解，积分方程数值解，代表性论著[5,7])

主要完成人： 余德浩

本人对项目核心发现点及重要发现点1－3均做出创造性贡献，包括：系统发展自然边界元法和人工边界法，得到一系列典型问题的自然积分方程，进行深刻的理论分析；首次提出积分核级数展开法等超奇异积分的计算方法，克服超奇异积分的计算困难；首先提出边界元与有限元自然直接耦合法及无界区域分解算法；推导出各阶精度的整体及局部人工边界条件，得到近似人工边界法的误差估计；首次给出矩形网格下双p次有限元渐近准确后验误差估计；首次建立自适应边界元严格的数学基础，提出以超奇异剩余作边界元后验误差估计。

本人近30年的研究工作均围绕本项目进行，在该项研究的工作量占本人科研工作量90％以上。代表性论著为[1,4,6,8,10]。

韩厚德

本人对本项目核心发现点和其他重要发现点1及4均做出创造性贡献，包括：系统发展求解无界区域问题的自然边界元法和人工边界法，得到各阶精度的整体、局部和离散人工边界条件；建立该方法的数学基础，给出精细的误差估计；提出有限元与边界元的对称耦合方法，给出人工边界上的隐式边界条件，适用于任意形状的人工边界；给出该耦合数值解的最优误差估计；在低阶四边形非协调有限元构造，边界积分-微分方程、变分不等式问题、不适定问题和奇异摄动问题的数值解等相关领域取得一系列创造性成果。

本人近30年的研究工作均围绕本项目进行，在该项研究的工作量占本人科研工作量90％以上。代表性论著为[2,3,5,7,9]。